【高数积分公式大全】在高等数学中，积分是重要的基础内容之一，广泛应用于物理、工程、经济等多个领域。掌握常见的积分公式对于解题和理解积分的性质具有重要意义。以下是对常见积分公式的总结，结合表格形式进行展示，便于查阅与记忆。
一、基本积分公式
| 积分表达式 | 积分结果 | ||
| ∫ dx | x c | ||
| ∫ x^n dx | (x^(n 1))/(n 1) c （n ≠ -1） | ||
| ∫ 1/x dx | ln | x | c |
| ∫ e^x dx | e^x c | ||
| ∫ a^x dx | (a^x)/ln(a) c （a > 0, a ≠ 1） | ||
| ∫ sin(x) dx | -cos(x) c | ||
| ∫ cos(x) dx | sin(x) c | ||
| ∫ sec²(x) dx | tan(x) c | ||
| ∫ csc²(x) dx | -cot(x) c | ||
| ∫ sec(x)tan(x) dx | sec(x) c | ||
| ∫ csc(x)cot(x) dx | -csc(x) c |
二、三角函数积分公式
| 积分表达式 | 积分结果 | ||
| ∫ sin(ax) dx | -cos(ax)/a c | ||
| ∫ cos(ax) dx | sin(ax)/a c | ||
| ∫ tan(x) dx | -ln | cos(x) | c |
| ∫ cot(x) dx | ln | sin(x) | c |
| ∫ sec(x) dx | ln | sec(x) tan(x) | c |
| ∫ csc(x) dx | -ln | csc(x) cot(x) | c |
三、反三角函数积分公式
| 积分表达式 | 积分结果 | ||
| ∫ 1/(1 x²) dx | arctan(x) c | ||
| ∫ 1/√(1 - x²) dx | arcsin(x) c | ||
| ∫ 1/√(x² a²) dx | ln | x √(x² a²) | c 或者 sinh⁻¹(x/a) c |
| ∫ 1/√(a² - x²) dx | arcsin(x/a) c | ||
| ∫ 1/(x² - a²) dx | (1/(2a)) ln | (x - a)/(x a) | c |
四、有理函数积分公式（部分分式分解）
对于多项式除法后的有理函数，通常需要通过部分分式分解后进行积分。例如：
- ∫ (ax b)/(ax² bx c) dx：根据判别式 δ = b² - 4ac 的值，可能涉及对数或反正切函数。
- ∫ (ax b)/(x - a)(x - b) dx：可分解为 a/(x - a) b/(x - b)，再分别积分。
五、特殊函数积分公式
| 积分表达式 | 积分结果 |
| ∫ ln(x) dx | x ln(x) - x c |
| ∫ x e^x dx | e^x (x - 1) c |
| ∫ x sin(x) dx | -x cos(x) sin(x) c |
| ∫ x cos(x) dx | x sin(x) cos(x) c |
| ∫ e^{ax} sin(bx) dx | e^{ax}/(a² b²) [a sin(bx) - b cos(bx)] c |
| ∫ e^{ax} cos(bx) dx | e^{ax}/(a² b²) [a cos(bx) b sin(bx)] c |
六、定积分与不定积分的区别
- 不定积分：表示一个函数族，结果包含常数 c。
- 定积分：表示在某一区间上的面积，结果为一个具体数值，不包含常数项。
七、积分技巧总结
1. 换元法（第一类、第二类）：适用于复合函数或难以直接积分的情况。
2. 分部积分法：适用于乘积形式的函数，如 ∫ u dv = uv - ∫ v du。
3. 部分分式法：用于有理函数的积分。
4. 对称性利用：如奇偶函数在对称区间的积分简化计算。
结语
以上是高等数学中常见的积分公式整理，涵盖了基本初等函数、三角函数、反三角函数、特殊函数以及一些积分技巧。掌握这些公式有助于提高解题效率，同时加深对积分本质的理解。建议在学习过程中多加练习，灵活运用公式，逐步提升自己的数学能力。